Metode Numerik

Metode Numerik

Biseksi (Metode Bagi Dua)

Disebut juga pemotongan biner (binary chopping), pembagian-pebagian (interval  talving) & metode Bolzano. Metode yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaiaan persamaan atau pencarian akar dari fungsi berbentuk non linear. Biseksi merupakan pencarian dimana interval senantiasa di bagi 2.

Rumus :

              xr = x + xu

                         2

Cara :

1. Pilih taksiran terendah (x1) dan taksiran tertinggi (xu).

2. Taksiran 1 akar xr ditentukan oleh :

              xr = x + xu

                         2

3. Buat evolusi yang berikut untuk menentukan subinterval di dalam rana akar terletak :

     a. jika y f(x1), f(xr) < 0

         akar terletak pada subinterval pertama, xu = xr dan lanjukan kembali kestep 2.

     b. jika f(x1), f(xr) > 0

         akar terletak pada subinterval ke-2, maka x1 = xr. Lanjutkan ke langkah berikutnya.

     c. jika f(x1), f(xr) = 0,akar xr

         Komputasi selesai.

Contoh :

1. Tentukan akar-akar nyata dari :

    f(x) = -0,874x² + 1,75x + 2,627

    Menggunakan 2 taksiran,dengan x1= 2,9 & xu = 3,1 ?

Jawab :

Taksiran 1

Ø  x1 = 2,9

            xu = 3,1

Ø  xr = 2,9 + 3,1 = 3

                         2

Ø  f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

                                  = 0,3571

               f(xr) = f(3) = -0,874 (3)² + 1,75 (3) + 2,627

                                 = 0,0110

            » f(x1) . f(xr) = f(2,9) . f(3)

                                  =  0,3571 . 0,0110

                                  = 0,0039 > 0

Sehingga pada taksiran ke 2 :

x1 = xr

xu = xu

Taksiran 2

Ø      x1 = 3

            xu = 3,1

Ø      xr = 3 + 3,1 = 3,05

                       2

Ø        f(x1) = f(3) = -0,874 (3)² + 1,75 (3) + 2,627

                               = 0,0110

             f(xr) = f(3,1) = -0,874 (3,1)² + 1,75 (3,1­) + 2,627

                                 = -0,1659

            » f(x1) . f(xr) = f(3) . f(3,1)

                                  = 0,0110 . -0,1659

                                  = -0,0018 < 0

Jadi akar-akarnya : x1 =3 & xu =xr = 3,05

Regula Falsi

False positif disebut juga interpolasi linier.

Rumus :

xr = xu – f(xu) – (x1 – xu)

                   f(x1) – f(xu)

Contoh soal :

1. Tentukan akar-akar dari :

    f(x) = -0,874x² + 1,75x +2,627

    Dengan metode regula falsi sampai 2 taksiran dengan x1 = 2,9 & xu = 3,1 ?

Jawab :

Taksiran 1

Ø           x1 = 2,9

              xu = 3,1

Ø           f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

                                   = 0,3571

Ø          f(xu) = f(3,1) = -0,874 (3,1)² + 1,75 (3,1) + 2,627

                                   = -0,3471

Ø         xr = xu – f(xu) – (x1 – xu)

                               f(x1) – f(xu)

                = 3,1 – -0,3471 – (2,9 – 3,1)

                                 0,3571 – 0,3471

                = 3,1 – -0,7590

                = 3,8590

Ø          f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

                                   = 0,3571

         

Ø          f(xr) = f(3,8590) = -0,874 (3,8590)² + 1,75 (3,8590) + 2,627

                                        = -3,6353

            » f(x1) . f(xr) = f(2,9) . f(3,8590)

                                  =  0,3571 . -3,6353

                                  = -1,2982 < 0

Sehingga pada taksiran ke 2 :

x1 = x1

xu = xr

Taksiran 2

Ø          x1 = 2,9

              xu = 3,8590

Ø          f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

                                   = 0,3571

Ø          f(xu) = f(3,8590) = -0,874 (3,8590)² + 1,75 (3,8590) + 2,627

                                         = -3,6353

Ø         xr = xu – f(xu) – (x1 – xu)

                               f(x1) – f(xu)

                 = 3,8590 – -3,6353 – (2,9 – 3,8590)

                                         0,3571 – -3,6353

                 = 3,8590 – -3,8592

                 = 7,7182

Ø          f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

                                   = 0,3571

              f(xr) = f(7,7182) = -0,874 (7,7182)² + 1,75 (7,7182) + 2,627

                                        = 8,7835

            » f(x1) . f(xr) = f(2,9) . f(7,7182)

                                  =  0,3571 . 8,7835

                                  = 3,1366 > 0

Jadi akar-akarnya : x1 = xr = 3,1366 & xu = xu = -3,6353

Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut dan termasuk metode terbuka untuk mencari akar atau (x).

xi+1 = x1 – f (xi)

                 f '(x1)

Metode Newton Raphson juga memperhatikan 

Єt =  eror sebenarnya    . 100 %

        harga sebenarnya

Keterangan :

xi adalah nilai tebakan awal x.

xi+1 adalah nilai x yang merupakan perpotongan antara slope f '(x) dengan sumbu x.

f '(x1) adalah turunan dari f (xi).

Contoh :

1. Tentukan xi dan Єt dari :

    f(x) = 3x³ – 2x + 10

    Dengan  xo = 20. Sampai taksiran 2.

Jawab :

Iterasi 1	xi	Єt (%)
0 1 2	0 13 9	100 % 54 % 44 %

Taksiran 1

 » x1 = x0 – f (x0)

                   f ' (x0)

         = 20 – 3 (20)³ – 2 (20) + 10

                          9 (20)² – 2

         = 20 – 23970

                     3598

         = 20 – 7

         = 13

 » Єt = 13 – 20 . 100 %

                13

        = -54

Taksiran 2

» x2 = x1 – f (x0)

                  f ' (x0)

        = 13 – 3 (13)³ – 2 (13) + 10

                           9 (13)² – 2

        =13 – 6575

                  1519

        = 13 – 4

        = 9

 » Єt = 9 – 13 . 100 %

               9

        = -44

Iterasi 1 Titik

Merupakan pengeluaran kembali fungsi f(x) = 0, sehingga x berada pada ruas kiri persamaan.

Rumus :

Єa = xi +1 – xi . 100 %

            xi+1

Contoh :

1. Gunakan metode iterasi 1 titik pada :

f(x) = x³ – 3x – 20 = 0

Dengan xo = 5. Sampai taksiran 3.

Jawab :

Iterasi 1	xi	Єa (%)
0 1 2 3	0 3,2711 3,1008 3,0830	100 % 52,8536 % 5,4930 % 0,5774 %

• f(x) = x³ – 3x – 20

            - x³ =( -3x – 20 )

               x³ = 3x + 20

                x = ( 3x + 20 )⅓

          xi+1 = ( 3xi + 20 )⅓

Taksiran 1

 » xi+1  = ( 3xi + 20 )⅓

    x0+1 = ( 3 . (5) +20 )⅓

        x1 = ( 15 +20 )⅓

        x1 = ( 35 )⅓

        x1 = 3,2711

  » Єa = 3,2711 – 5 .100 %

                 3,2711

          = 52,8536

Taksiran 2

 » xi+1  = ( 3xi + 20 )⅓

    x1+1 = ( 3 . (3,2711) + 20 )⅓

        x2 = ( 9,8133 +20 )⅓

        x2 = ( 29,8133 )⅓

        x2 = 3,1008

  » Єa = 3,1008 – 3,2711 . 100 %

                   3,1008

          = 5,4930

Taksiran 3

 » xi+1  = ( 3xi + 20 )⅓

    x2+1 = ( 3 . (3,1008) + 20 )⅓

        x3 = ( 9,3024 +20 )⅓

        x3 = ( 29,3024 )⅓

        x3 = 3,0830

   » Єa = 3,0830 – 3,1008 . 100 %

                     3,0830            

           = 0,5774

1/3 Simpson

Sebagai aturan trapezium untuk integrasi menemukan luas daerah dibawah garis yg menghubungkan titik- titik ujung dari sebuah panel. Aturan Simpson menemukan luas daerah dibawah yang melewati 3 poin (titik ujung dan titik tengah) pada kurva. Pada intinya, aturan mendekati kurva oleh serangkaian parabola busur dan area dibawah parabola adalah sekitar area dibawah kurva.

Trapezoida

Dalam geometri, berisi empat angka dengan sepasang sisi sejajar disebut trapesium dan dalam bahasa Inggris Amerika trapezium dengan simpul di lambangkan Trapezoida.Istilah ini kadang-kadang didefinisikan sebagai suatu segiempat yang tidak sejajar sisi, meskipun bentuk ini lebih biasanya disebut segiempat yang tidak teratur.

Luas trapesium adalah :

 

Dimana :

Luas trapesium juga ditentukan oleh panjang dari semua sisi-sisinya.

Jika panjang sisi-sisinya adalah a, b, c dan d, (dimana b adalah panjang sisi sejajar lagi, dan lebih pendek dari sisi paralel), maka:

 

Setara lain formula untuk daerah, yang lebih menyerupai Heron's formula adalah: 

Dimana :

adalah semiperimeter trapesium. (Hal ini mirip dengan rumus rumus Brahmagupta, tetapi berbeda dari itu, dalam sebuah trapesium mungkin tidak akan siklik (tertulis dalam lingkaran). Formula juga merupakan kasus khusus untuk Bretschneider.
 

Oleh karena itu menggunakan rumus : 

Suatu segiempat adalah suatu trapesium jika dan hanya jika hanya memiliki dua sudut yang berdekatan adalah suplementer, yaitu, mereka menambahkan hingga 180 derajat.

Oleh karena itu panjang diagonal :