TUGAS KULIAH

"METODE NUMERIK"

STMIK BUDIDARMA MEDAN

Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f'(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x₀, f(x₀)) dan (x₁, f(x₁)). Perhatikan gambar dibawah ini.

Persamaan garis l adalah

$\frac{x-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{y-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

Karena x = x₂ maka y = 0, sehingga diperoleh

$\frac{x_2-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{0-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ – x₁ = $-\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ = x₁ – $\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

= x₁ – $\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}$

secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

x_n+1 = x_n – $\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x₀ dan x₁. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x₂ menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x₁ dan x₂ sebagai titik awal dan hitung x₃. Kemudian ambil x₂ dan x₃ sebagai titik awal dan hitung x₄. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh :

Tentukan salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

iterasi 1 :

ambil x₀ = -1 dan x₁ = 3 (ngambil titik awal ini sebarang saja, tidak ada syarat apapun)

f(-1) = 4(-1)³ – 15(-1)² + 17(-1) – 6 = -42

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)}$ = 1.8

iterasi 2 :

ambil x₁ = 3 dan x₂ = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)³ – 15(1.8)² + 17(1.8) – 6 = -0.672

x₃ = (1.8) – $\frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18}$ = 1.84319

iterasi 3 :

ambil x₂ = 1.8 dan x₃ = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)³ – 15(1.84319)² + 17(1.84319) – 6 = -0.57817

x₄ = (1.84319) – $\frac{(-0.57817)[1.84319-1.8]}{-0.57817-(0.672)}$ = 2.10932

iterasi 4 :

ambil x₃ = 1.84319 dan x₄ = 2.10932

f(2.10932) = 4(2.10932)³ – 15(2.10932)² + 17(2.10932) – 6 = 0.65939

x₅ = (2.10932) – $\frac{(0.65939)[2.10932-1.84319]}{0.65939-(-0.57817)}$ = 1.96752

iterasi 5 :

ambil x₄ = 2.10932 dan x₅ = 1.96752

f(1.96752) = 4(1.96752)³ – 15(1.96752)² + 17(1.96752) – 6 = -0.15303

x₆ = (1.96752) – $\frac{(-0.15303)[1.96752-2.10932]}{-0.15303-0.65939)}$ = 1.99423

iterasi 6 :

ambil x₅ = 1.96752 dan x₆ = 1.99423

f(1.99423) = 4(1.99423)³ – 15(1.99423)² + 17(1.99423) – 6 = -0.02854

x₇ = (1.99423) – $\frac{(-0.02854)[1.99423-1.96752]}{-0.02854-(-0.15303)}$ = 2.00036

iterasi 7 :

ambil x₆ = 1.99423 dan x₇ = 2.00036

f(2.00036) = 4(2.00036)³ – 15(2.00036)² + 17(2.00036) – 6 = 0.00178

x₈ = (2.00036) – $\frac{(0.00178)[2.00036-1.99423]}{0.00178-(-0.02854)}$ = 2.00000

iterasi 8 :

ambil x₇ = 2.00036 dan x₈ = 1.999996

f(1.999996) = 4(1.999996)³ – 15(1.999996)² + 17(1.999996) – 6 = -0.0002

x₉ = (1.999996) – $\frac{(-0.0002)[1.999996-2.00036]}{-0.0002-0.00178}$ = 2.0000

iterasi 9 :

ambil x₈ = 1.999996 dan x₉ = 2.00000

f(2.00000) = 4(2.00000)³ – 15(2.00000)² + 17(2.00000) – 6 = 0.00000

x₁₀ = (2.00000) – $\frac{(0.00000)[2.00000-1.999996]}{0.00000-(-0.00002)}$ = 0.00000

n	x_n-1	x_n	x_n+1	f(x_n-1)	f(x_n)	f(x_n+1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-1 3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000	3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000	1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000 2.00000	-42 18 -0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002	18 -0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000	-0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000 0.00000

Jadi salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0
adalah 2
by aldo frimanda nainggolan

Metode Numerik

Biseksi (Metode Bagi Dua)

Disebut juga pemotongan biner (binary chopping), pembagian-pebagian (interval talving) & metode Bolzano. Metode yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaiaan persamaan atau pencarian akar dari fungsi berbentuk non linear. Biseksi merupakan pencarian dimana interval senantiasa di bagi 2.

Rumus :

xr = x + xu

Cara :

1. Pilih taksiran terendah (x1) dan taksiran tertinggi (xu).

2. Taksiran 1 akar xr ditentukan oleh :

xr = x + xu

3. Buat evolusi yang berikut untuk menentukan subinterval di dalam rana akar terletak :

a. jika y f(x1), f(xr) < 0

akar terletak pada subinterval pertama, xu = xr dan lanjukan kembali kestep 2.

b. jika f(x1), f(xr) > 0

akar terletak pada subinterval ke-2, maka x1 = xr. Lanjutkan ke langkah berikutnya.

c. jika f(x1), f(xr) = 0,akar xr

Komputasi selesai.

Contoh :

1. Tentukan akar-akar nyata dari :

f(x) = -0,874x² + 1,75x + 2,627

Menggunakan 2 taksiran,dengan x1= 2,9 & xu = 3,1 ?

Jawab :

Taksiran 1

Ø x1 = 2,9

xu = 3,1

Ø xr = 2,9 + 3,1 = 3

Ø f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

= 0,3571

f(xr) = f(3) = -0,874 (3)² + 1,75 (3) + 2,627

= 0,0110

» f(x1) . f(xr) = f(2,9) . f(3)

= 0,3571 . 0,0110

= 0,0039 > 0

Sehingga pada taksiran ke 2 :

x1 = xr

xu = xu

Taksiran 2

Ø x1 = 3

xu = 3,1

Ø xr = 3 + 3,1 = 3,05

Ø f(x1) = f(3) = -0,874 (3)² + 1,75 (3) + 2,627

= 0,0110

f(xr) = f(3,1) = -0,874 (3,1)² + 1,75 (3,1) + 2,627

= -0,1659

» f(x1) . f(xr) = f(3) . f(3,1)

= 0,0110 . -0,1659

= -0,0018 < 0

Jadi akar-akarnya : x1 =3 & xu =xr = 3,05

Regula Falsi

False positif disebut juga interpolasi linier.

Rumus :

xr = xu – f(xu) – (x1 – xu)

f(x1) – f(xu)

Contoh soal :

1. Tentukan akar-akar dari :

f(x) = -0,874x² + 1,75x +2,627

Dengan metode regula falsi sampai 2 taksiran dengan x1 = 2,9 & xu = 3,1 ?

Jawab :

Taksiran 1

Ø x1 = 2,9

xu = 3,1

Ø f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

= 0,3571

Ø f(xu) = f(3,1) = -0,874 (3,1)² + 1,75 (3,1) + 2,627

= -0,3471

Ø xr = xu – f(xu) – (x1 – xu)

f(x1) – f(xu)

= 3,1 – -0,3471 – (2,9 – 3,1)

0,3571 – 0,3471

= 3,1 – -0,7590

= 3,8590

Ø f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

= 0,3571

Ø f(xr) = f(3,8590) = -0,874 (3,8590)² + 1,75 (3,8590) + 2,627

= -3,6353

» f(x1) . f(xr) = f(2,9) . f(3,8590)

= 0,3571 . -3,6353

= -1,2982 < 0

Sehingga pada taksiran ke 2 :

x1 = x1

xu = xr

Taksiran 2

Ø x1 = 2,9

xu = 3,8590

Ø f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

= 0,3571

Ø f(xu) = f(3,8590) = -0,874 (3,8590)² + 1,75 (3,8590) + 2,627

= -3,6353

Ø xr = xu – f(xu) – (x1 – xu)

f(x1) – f(xu)

= 3,8590 – -3,6353 – (2,9 – 3,8590)

0,3571 – -3,6353

= 3,8590 – -3,8592

= 7,7182

Ø f(x1) = f(2,9) = -0,874 (2,9)² + 1,75 (2,9) + 2,627

= 0,3571

f(xr) = f(7,7182) = -0,874 (7,7182)² + 1,75 (7,7182) + 2,627

= 8,7835

» f(x1) . f(xr) = f(2,9) . f(7,7182)

= 0,3571 . 8,7835

= 3,1366 > 0

Jadi akar-akarnya : x1 = xr = 3,1366 & xu = xu = -3,6353

Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut dan termasuk metode terbuka untuk mencari akar atau (x).

xi+1 = x1 – f (xi)

f '(x1)

Metode Newton Raphson juga memperhatikan

Єt = eror sebenarnya . 100 %

harga sebenarnya

Keterangan :

xi adalah nilai tebakan awal x.

xi+1 adalah nilai x yang merupakan perpotongan antara slope f '(x) dengan sumbu x.

f '(x1) adalah turunan dari f (xi).

Contoh :

1. Tentukan xi dan Єt dari :

f(x) = 3x³ – 2x + 10

Dengan xo = 20. Sampai taksiran 2.

Jawab :

Iterasi 1	xi	Єt (%)
0 1 2	0 13 9	100 % 54 % 44 %

Taksiran 1

» x1 = x0 – f (x0)

f ' (x0)

= 20 – 3 (20)³ – 2 (20) + 10

9 (20)² – 2

= 20 – 23970

3598

= 20 – 7

= 13

» Єt = 13 – 20 . 100 %

= -54

Taksiran 2

» x2 = x1 – f (x0)

f ' (x0)

= 13 – 3 (13)³ – 2 (13) + 10

9 (13)² – 2

=13 – 6575

1519

= 13 – 4

= 9

» Єt = 9 – 13 . 100 %

= -44

Iterasi 1 Titik

Merupakan pengeluaran kembali fungsi f(x) = 0, sehingga x berada pada ruas kiri persamaan.

Rumus :

Єa = xi +1 – xi . 100 %

xi+1

Contoh :

1. Gunakan metode iterasi 1 titik pada :

f(x) = x³ – 3x – 20 = 0

Dengan xo = 5. Sampai taksiran 3.

Jawab :

Iterasi 1	xi	Єa (%)
0 1 2 3	0 3,2711 3,1008 3,0830	100 % 52,8536 % 5,4930 % 0,5774 %

f(x) = x³ – 3x – 20

- x³ =( -3x – 20 )

x³ = 3x + 20

x = ( 3x + 20 )⅓

xi+1 = ( 3xi + 20 )⅓

Taksiran 1

» xi+1 = ( 3xi + 20 )⅓

x0+1 = ( 3 . (5) +20 )⅓

x1 = ( 15 +20 )⅓

x1 = ( 35 )⅓

x1 = 3,2711

» Єa = 3,2711 – 5 .100 %

3,2711

= 52,8536

Taksiran 2

» xi+1 = ( 3xi + 20 )⅓

x1+1 = ( 3 . (3,2711) + 20 )⅓

x2 = ( 9,8133 +20 )⅓

x2 = ( 29,8133 )⅓

x2 = 3,1008

» Єa = 3,1008 – 3,2711 . 100 %

3,1008

= 5,4930

Taksiran 3

» xi+1 = ( 3xi + 20 )⅓

x2+1 = ( 3 . (3,1008) + 20 )⅓

x3 = ( 9,3024 +20 )⅓

x3 = ( 29,3024 )⅓

x3 = 3,0830

» Єa = 3,0830 – 3,1008 . 100 %

3,0830

= 0,5774

1/3 Simpson

Sebagai aturan trapezium untuk integrasi menemukan luas daerah dibawah garis yg menghubungkan titik- titik ujung dari sebuah panel. Aturan Simpson menemukan luas daerah dibawah yang melewati 3 poin (titik ujung dan titik tengah) pada kurva. Pada intinya, aturan mendekati kurva oleh serangkaian parabola busur dan area dibawah parabola adalah sekitar area dibawah kurva.

Trapezoida

Dalam geometri, berisi empat angka dengan sepasang sisi sejajar disebut trapesium dan dalam bahasa Inggris Amerika trapezium dengan simpul di lambangkan Trapezoida.Istilah ini kadang-kadang didefinisikan sebagai suatu segiempat yang tidak sejajar sisi, meskipun bentuk ini lebih biasanya disebut segiempat yang tidak teratur.

Luas trapesium adalah :

Dimana :

Luas trapesium juga ditentukan oleh panjang dari semua sisi-sisinya.

Jika panjang sisi-sisinya adalah a, b, c dan d, (dimana b adalah panjang sisi sejajar lagi, dan lebih pendek dari sisi paralel), maka:

Setara lain formula untuk daerah, yang lebih menyerupai Heron's formula adalah:

Dimana :

adalah semiperimeter trapesium. (Hal ini mirip dengan rumus rumus Brahmagupta, tetapi berbeda dari itu, dalam sebuah trapesium mungkin tidak akan siklik (tertulis dalam lingkaran). Formula juga merupakan kasus khusus untuk Bretschneider.

Oleh karena itu menggunakan rumus :

Suatu segiempat adalah suatu trapesium jika dan hanya jika hanya memiliki dua sudut yang berdekatan adalah suplementer, yaitu, mereka menambahkan hingga 180 derajat.

Oleh karena itu panjang diagonal :

aldo nainggolan

Selasa, 03 Mei 2016

metode scan

TUGAS KULIAH

"METODE NUMERIK"

STMIK BUDIDARMA MEDAN

Senin, 02 Mei 2016

Metode Numerik

Metode Numerik

Arsip Blog